Arbre couvrant de distance moyenne minimale et dynamique des opinions

La première partie porte sur la construction d'un arbre couvrant de distance moyenne minimale (ACDM). A partir de nouvelles formules proposées pour évaluer la somme des distances entre paires de sommets dans un arbre, une nouvelle heuristique qui améliore les résultats des algorithmes d'approximation connus est construite. Il est démontré que dans un arbre optimal, l'union des branches d'un sommet de taille inférieure à une expression proportionnelle à la racine carrée du nombre de sommets est un sous-arbre localement de plus courts chemins à partir de ce sommet. Il est également démontré que l'arbre binomial est un optimum local de l'ACDM sur l'hypercube pour l'opération de 1-move. La seconde partie, porte sur la convergence d'un modèle discret de dynamique d'opinions : les réseaux d'automates à fonction majorité. Il est démontré que si la matrice des influences est quasi-symétrique, en mode parallèle les attracteurs du système sont de longueur <= 2 et sont uniquement des points fixes en mode série. Grâce aux fonctions de Lyapunov définies pour les deux modes d'itération, les longueurs des transitoires du modèle sont explicitement bornées.